У его сестры синдром Дауна, обязана ли она искупить то, что не постится?

Во-первых.

Синдром Дауна проявляется уже в малом возрасте и выражается в задержке умственного и физического развития. Явными внешними признаками является специфический разрез глаз (монгольская складка), короткая шея и руки, слабые мышцы.

Во-вторых.

Для того чтобы пост был обязательным, человек должен быть разумным, так как пророк, да благословит его Аллах и приветствует, сказал: Деяния троих не записываются: слабоумного, пока он не обретет разум, спящего, пока он не проснётся, и малолетнего, пока он не достигнет половозрелости (Абу Дауд № 4399; аль-Альбани в Сахих Аби Дауд сказал, что хадис достоверный).

Если у Вашей сестры есть значительная задержка в умственном развитии: у нее слабоумие, и она не понимает законов Шариата, то она не обязана соблюдать пост и не обязана возмещать его. Поэтому, Вы не обязаны выплачивать за неё искупление, ведь он ей вообще не обязателен.

Шейх Ибн ‘Усеймин, да помилует его Аллах, сказал: Слабоумный (неразумный) человек не обязан следовать предписаниям Шариата. Он не обязан исполнять обязательные каноны религии: не обязан молиться, поститься, не обязан возмещать пост или кормить бедняков за пропущенные дни. Он не обязан делать ничего из обязательного, кроме некоторых исключений, например, в вопросах имущественных (аш-Шарху-ль-мумути‘. Т. 6. С. 324).

А Аллах знает лучше.